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快速傅立叶变换的应用(转贴)

已有 406 次阅读  2009-12-10 19:22
只要是理工科毕业的朋友,都学过傅立叶级数与傅立叶变换,但真正要与实际应用联系起来,用它来阐述应用中的各类问题,我们总会感觉概念模糊,似懂非懂,不知从何说起。是的,作者和你一样,常常有这样的体会。现在,让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用,最后还给出一份FFT(快速傅立叶变换)的源码(基于C)。希望对你有所帮助。Let’s go!

1. 历史回顾
谈傅立叶变换,不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪,主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究,并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下:

f(t) = (1/2a0) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + …
其中,系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。
 
成立条件:
n 周期性条件,也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现;
n Dirichlet条件,周期T内,有限的最大最小值,有限的不连续点;
任何区间内绝对可积;

研究目的:
把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN(nt)和余弦函数COS(nt)。

应用领域:
l 信号分析,包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等;
l 研究偏微分方程,比如求解热力学方程的解时,把f(t)展开为三角级数最为关键。
l 概率与统计,量子力学等学科。

2. 傅立叶变换
H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, (区间:-∽~+∽,w = 2πf)
 讨论:这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示?
答案:欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单,即e^jx = cos(x) + jsin(x)
3. 快速傅立叶变换(FFT)
常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统,原因是运算量太大(涉及到复数运算),比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n矩阵Fn,需要n×n次乘法。若n=1024,则是104,8576次乘法运算。哇,这么多呀!什么概念呢?如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算,那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算,对于大多数实时系统,这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。
本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来,但当自己硬着头皮看完后,发现对我没有任何用处,我又不是专门研究数学算法的,哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想,这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它,然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料,这方面的资料实在太多了。
虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量,但对于一般的单片机而言,处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算,要分开实部和虚部分别计算,想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为,有这么复杂吗?我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错,可以这么做,但那是C++封装了对复数处理的类,直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间,多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。
所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法,根据以上的简单介绍可以得出以下两点:
l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作,因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址,可以实现增/减1个变址量,方便各种查表方法。
l FFT要对原始序列进行反序排列,处理器要有反序间接寻址的能力。

所以,在数字信号的分析处理应用中,DSP比其它的处理器有绝对的优势,因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机(51系列,AVR,PIC等等)或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。

4. FFT的C实现方法
//**********************************************************
// 函数名: 快速傅立叶变换(来源《C常用算法集》)
// 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。
// 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。
//
// 入口参数: 
// l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换
// il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角;il = 1,计算模和幅角
// n: 输入的点数,为偶数,一般为32,64,128,...,1024等
// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数
// pr[]: l=0时,存放N点采样数据的实部
// l=1时, 存放傅立叶变换的N个实部
// pi[]: l=0时,存放N点采样数据的虚部 
// l=1时, 存放傅立叶变换的N个虚部
//
// 出口参数:
// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
// l=1, 返回逆傅立叶变换的虚部
// pr[]: il = 1,i = 0 时,返回傅立叶变换的模
// il = 1,i = 1 时,返回逆傅立叶变换的模
// pi[]: il = 1,i = 0 时,返回傅立叶变换的辐角
// il = 1,i = 1 时,返回逆傅立叶变换的辐角
// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong
void kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il)
{
 int it,m,is,i,j,nv,l0;
 double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;

 for (it=0; it<=n-1; it++)
 { 
 m = it; 
 is = 0;
 for(i=0; i<=k-1; i++)
 { 
 j = m/2; 
 is = 2*is+(m-2*j); 
 m = j;
 }
 fr[it] = pr[is]; 
 fi[it] = pi[is];
 }
//----------------------------
 pr[0] = 1.0; 
 pi[0] = 0.0;
 p = 6.283185306/(1.0*n);
 pr[1] = cos(p); 
 pi[1] = -sin(p);

 if (l!=0) 
 pi[1]=-pi[1];

 for (i=2; i<=n-1; i++)
 { 
 p = pr[i-1]*pr[1]; 
 q = pi[i-1]*pi[1];
 s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
 pr[i] = p-q; 
 pi[i] = s-p-q;
 }

 for (it=0; it<=n-2; it=it+2)
 { 
 vr = fr[it]; 
 vi = fi[it];
 fr[it] = vr+fr[it+1]; 
 fi[it] = vi+fi[it+1];
 fr[it+1] = vr-fr[it+1]; 
 fi[it+1] = vi-fi[it+1];
 }
 m = n/2; 
 nv = 2;

 for (l0=k-2; l0>=0; l0--)
 { 
 m = m/2; 
 nv = 2*nv;
 for(it=0; it<=(m-1)*nv; it=it+nv)
 for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)
 { 
 p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];
 q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];
 s = pr[m*j]+pi[m*j];
 s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);
 poddr = p-q; 
 poddi = s-p-q;
 fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;
 fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;
 fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;
 fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;
 }
 }

 if(l!=0)
 for(i=0; i<=n-1; i++)
 { 
 fr[i] = fr[i]/(1.0*n);
 fi[i] = fi[i]/(1.0*n);
 }

 if(il!=0)
 for(i=0; i<=n-1; i++)
 { 
 pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]);
 if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i]))
 { 
 if ((fi[i]*fr[i])>0) 
 pi[i] = 90.0;
 else 
 pi[i] = -90.0;
 }
 else
 pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306;
 }
return;
}
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